梯度下降背后的數學原理幾何？（上）

對于諸位「MLer」而言，梯度下降這個概念一定不陌生，然而從直觀上來看，梯度下降的復雜性無疑也會讓人「敬而遠之」。本文作者 Suraj Bansal 通過對梯度下降背后的數學原理進行拆解，并配之以簡單的現實案例，以輕松而有趣的口吻帶大家深入了解梯度下降這一在機器學習領域至關重要的方法。

「敏捷軟件開發」定義了迭代產品開發的過程，以下步驟可通過這一過程執行。

1）市場調研后進行產品構建

2）產品商業化并進入市場

3）評估消費者滿意度和市場滲透率

4）對反饋及時回應，并更新迭代產品

5）重復上述過程

這個過程實質上是將市場測試、 收集反饋和產品迭代反復進行，直到能以最小的誤差實現最大的市場滲透率。此循環重復多次，并確保消費者可以在每個步驟中提供一定的反饋來影響產品的更改策略。

實際上，這種看似簡單的反復迭代過程很好地體現在梯度下降原理中。梯度下降能夠通過首先計算出成本函數的梯度、然后更新梯度對應的現有參數從而最小化成本函數來處理。

梯度將具有眾多變量的函數轉換為一個向量（稍后我們將對該話題進行討論）。

了解梯度下降背后的多元演算聽起來可能會讓人十分畏懼……別怕，下面我將對梯度下降背后的原理做出解釋并且僅跟大家探討理解梯度下降所需的數學概念。

一、梯度下降變體：不止一個

梯度下降采用機器學習算法實現了三種主要的變體，每個變體在計算效率上各異并且都具有各自獨特的優勢。

1、第一種變體：批量梯度下降

批量梯度下降（Batch Gradient Descent）可以說是梯度下降變體中最簡單的一種。這整個過程可以看作是訓練迭代的次數（Epoch），即以決定訓練用來更新模型權重的向量的次數。

批量梯度下降的誤差通過訓練集每一批單獨的樣本計算出來，并且在所有訓練點數都在一個 Epoch 內經過機器學習算法的訓練后更新模型參數。

更多相關信息可參考下面這篇文章（文中為大家推薦了五本機器學習相關的書籍）：

https://www.datadriveninvestor.com/2019/03/03/editors-pick-5-machine-learning-books/

該方法的誤差梯度和收斂速度較為穩定，可以實現足夠水平的計算效率。但是，由于該模型僅在分析了整個訓練集之后才對權重進行迭代，此時的收斂狀態可能不是最優的狀態，事實上，該模型還可以優化以達到更精確的結果！

2、第二種變體：隨機梯度下降

下面進入……隨機梯度下降！這兩種方法之間的根本區別在于，隨機梯度下降法隨機化了整個數據集并對每個單獨的訓練樣本進行權重和參數的更新，而批量梯度下降是在分析了整個訓練集之后對參數進行更新。

對模型連續更新可以提供更高的準確率和更快的計算速度。但是，頻繁的更改會產生更多的梯度噪聲，這意味著它會在誤差最小值區域（成本函數最低的點）內來回振蕩。因此，每次運行測試都會存在一些差異。

好的，這兩種方法都有一些明顯的優缺點，那么到底哪種方法更適合你的機器學習模型？這也不是什么很難的問題——都不是！

3、第三種變體：迷你批量梯度下降

再接下來進入……迷你批次梯度下降！它基本上結合了批量梯度下降的效率和隨機梯度下降的整體魯棒性。

該方法通過將數據集聚類為更小的批量（通常在30–500個訓練點數之間），并且模型對每個單獨批量執行迭代。它通過使用高度優化的矩陣來提高效率和準確性，這有效減小了參數更新的方差。

所有梯度下降變體都將使用以下公式進行建模。每當模型進行反向傳播后，都會執行此迭代，直到成本函數達到其收斂點為止。

權重向量存在于 x-y 平面中，將對應每個權重的損失函數的梯度與學習率相乘，然后用向量減去二者的乘積。

偏導數是用于更新參數 θ0、θ1和alpha（學習率）的梯度，而alpha是需要用戶自己給定的非常重要的超參數。M 代表更新的次數，i 代表梯度更新的起始點。

二、涉及到的一些數學概念

1、偏導數

我們知道一個多變量函數的偏導數，就是它關于其中一個變量的導數而保持其他變量恒定。但是該函數的整個求導過程是怎樣的呢？

首先，讓我們了解偏導數背后的數學原理。計算像 f（x，y）=x2* y 這樣的多變量函數的過程可以分解如下：

好吧，我知道你此時在想什么——導數本身已經很復雜很枯燥，為什么還使用偏導數而不完全使用導數！

函數輸入由多個變量組成，因此，其中涉及的概念就是多變量演算。偏導數用于評估每個變量相對于其他變量作為常量時的變化情況。

2、梯度

梯度實質上輸出的是標量值多變量函數多維輸入的一維值。梯度表示圖形切線的斜率，該斜率指向函數最大增長率的方向。這個導數代表了成本函數的趨勢或斜率值。

本質上，任何給定函數 f 的梯度（通常用?f表示）可以解釋為一個向量所有偏導數的集合。

想象自己站在函數 f 以一定間隔排列的點（x0，y0…）之中。向量?f（x0，y0…）將識別出使 f函數值增加的最快行進方向。有趣的是，梯度矢量?f（x0，yo…）也垂直于函數 f 的輪廓線！

假設偏導數是具有 n 個偏導數的 n 次導數，這些偏導數可以將每個單獨的變量與其他看作常數的變量隔離開來。而梯度將每個偏導數組合成一個向量。

3、學習率

梯度可以確定移動的方向。學習率將決定我們采取步長的大小。學習率本質上是一個超參數，它定義了神經網絡中權重相對于損失梯度下降的調整幅度。

這個參數決定了我們朝著最佳權重移動的速度的快慢，同時將每個步長的成本函數最小化。高學習率可以在每一步中覆蓋更多的區域，但是可能會跳過成本函數的最小值；低學習率則需要花上很久的時間才能到達成本函數的最小值。

下面我以我的小外甥和他對狗的喜愛為例，來對這兩種情況進行說明：

我們假設 Arnav 美夢成真：看到了25只漂亮的拉布拉多犬，并且它們都是黑色的。那自然而然地，Arnav 就會識別出這種一致的黑色，并將這種黑色關聯為他之后在辨認狗這種動物時要尋找的主要特征。

假設我突然給他看一條白色的狗，然后告訴他這是一只狗，如果學習率低，他會繼續認為所有的狗都一定具備黑色的特征，而這條白色的狗就是一條異常的狗。

如果學習率高，Arnav 就會轉而相信所有的狗都應該是白色的，并且任何跟他的新預想不一致的情況都會被視為錯誤，即便之前他看到過 25只黑色狗。

在理想的學習率下，Arnav 將意識到顏色不是對狗進行分類的主要屬性，他將繼續去發現狗的其他特征。理想的學習速率無疑是最好的，因為它能夠在準確性和時間成本之間找到一個平衡點。

4、成本函數

成本函數可以衡量模型的性能，在神經網絡訓練過程中，我們要確保將成本函數一直減小，直到達到最小值。

成本函數實質上是通過回歸指標，例如平均絕對誤差和均方誤差，來量化預測值和期望值之間的總誤差。

原文鏈接：https://medium.com/datadriveninvestor/the-math-and-intuition-behind-gradient-descent-13c45f367a11